1. Introdução
Entre muitos problemas importantes na propagação de ondas, a difração de bordas por objetos com bordas dielétricas continua sendo um problema de difração desafiador e não resolvido. As soluções para este problema desempenham um papel importante na estimativa do espalhamento de ondas eletromagnéticas por grandes obstáculos poligonais. Para um número limitado de formas simples e objetos pequenos, o problema de espalhamento pode ser resolvido por uma série de soluções exatas disponíveis [1], [2] e métodos numéricos [3]-[6]. Apesar de terem precisão confiável, esses métodos não são soluções ideais para objetos grandes porque são limitados pelo tempo e consumo de memória para realizar um grande número de cálculos. Portanto, o desenvolvimento de soluções de aproximação aceitavelmente rápidas e altamente precisas para objetos grandes é verdadeiramente imperativo.
Alguns métodos de aproximação de alta frequência podem ser capazes de analisar o campo de espalhamento por grandes objetos condutores [7]-[10], como óptica física (PO) [11]-[16], teoria geométrica de difração (GTD) [17 ]-[21], e suas soluções uniformes estendidas [22]-[26]. Quando os objetos espalhadores são feitos de materiais dielétricos, o problema se torna mais complicado. Embora o GTD e suas soluções estendidas possam ser aplicados apenas aos objetos condutores, uma extensão heurística da teoria uniforme da difração (HUTD) [27] pode ser usada para resolver o campo de radiação apenas na região externa dos objetos dielétricos com perdas. Isto exige que desenvolvamos outras soluções que possam fornecer uma avaliação precisa do campo de espalhamento para a região interna desses objetos dielétricos. Para este problema, soluções modificadas baseadas no método PO podem ser possíveis para difração de bordas em ambas as regiões dos objetos penetráveis. A base matemática para essas soluções pode ser encontrada no teorema de equivalência de superfície [28]-[30], segundo o qual os campos de espalhamento podem ser considerados como radiação de correntes elétricas e magnéticas equivalentes em uma superfície virtual que envolve o corpo espalhador [31] . Uma solução uniforme assintótica de PO (UAPO) foi introduzida para a difração por cunhas dielétricas [32], [33]. Nesta solução, os comportamentos de singularidade no limite de sombra dos raios da óptica geométrica (GO) foram corrigidos utilizando a função de transição UTD, na qual a solução não uniforme foi multiplicada pela integral de Fresnel. No entanto, a precisão do PO para o campo difratado não foi claramente avaliada nesta investigação.
Os raios ocultos de difração (HRD) foram propostos para estender um conceito de HUTD ao campo difratado interno, em conjunto com as correntes PO nas superfícies em cunha, e os termos adicionalmente introduzidos podem ser interpretados como excitados pelo não-físico. ondas incidentes [34], [35]. Embora as aproximações UAPO e HRD sejam ferramentas bastante simples e poderosas para estimar o campo difratado de alta frequência, sua confiabilidade ainda não foi verificada claramente. Isto nos motiva a avaliar a precisão dessas soluções de aproximação e a desenvolver uma solução confiável para a difração de bordas por objetos dielétricos.
Neste artigo, o campo difratado de uma onda plana polarizada por TM por uma cunha dielétrica foi avaliado por uma solução PO estendida (EPO), na qual os campos de radiação são obtidos pela integração das correntes elétricas e magnéticas equivalentes na superfície da cunha. com função de Green bidimensional. Ao contrário das soluções convencionais de PO, essas correntes são obtidas a partir de raios GO incidentes, refletidos e transmitidos fora e dentro da cunha, respectivamente. Soluções assintóticas uniformes, incluindo o complemento da função de erro, foram derivadas usando a técnica do ponto de sela para integração de campo de espalhamento. Os campos difratados foram então representados em termos de funções cotangentes, que possuem uma correspondência biunívoca com as singularidades dos limites de sombra dos raios GO.
Os resultados numéricos também foram calculados e comparados com os de soluções de referência, como HRD, e o método de diferenças finitas no domínio do tempo (FDTD).
Na discussão a seguir, o fator harmônico de tempo \(e^{j\omega t}\) é assumido e suprimido ao longo do texto.
2. Derivação do Campo Difratado
Quando um objeto é iluminado por uma onda eletromagnética incidente (\(\boldsymbol{E}^{\rm i}\), \(\boldsymbol{H}^{\rm i}\)), o campo disperso (\(\boldsymbol{E}^{\rm s}\), \(\boldsymbol{H}^{\rm s}\)) pode ser calculado pelos campos de radiação provenientes de correntes elétricas e magnéticas induzidas na superfície do objeto [21], [31]. Para a configuração bidimensional (\(\frac{\partial}{\partial z}\equiv0\)), o campo de dispersão (\(\boldsymbol{E}^{\rm s}\), \(\boldsymbol{H}^{\rm s}\)) é dado pela integração de correntes elétricas e magnéticas equivalentes \(\boldsymbol{J}\), \(\boldsymbol{M}\) na fronteira \(\rm C\) de um corpo espalhador com função de Green \(G\) como [21]
\[\begin{align} &\boldsymbol{E}^{\rm s}=-\displaystyle\int_{\rm C}\bigg[j\omega\mu\boldsymbol{J}(\boldsymbol{r'})G(\boldsymbol{r}, \boldsymbol{r'})+\boldsymbol{M}(\boldsymbol{r'})\times\nabla'G(\boldsymbol{r}, \boldsymbol{r'})\bigg]dl', \tag{1} \\ &\boldsymbol{H}^{\rm s}=-\displaystyle\int_{\rm C}\bigg[j\omega\varepsilon\boldsymbol{M}(\boldsymbol{r'})G(\boldsymbol{r}, \boldsymbol{r'})-\boldsymbol{J}(\boldsymbol{r'})\times\!\nabla'G(\boldsymbol{r}, \boldsymbol{r'})\bigg]dl', \tag{2} \end{align}\] |
onde um primo denota a derivada em relação às coordenadas da fonte. Correntes \(\boldsymbol{J}\) e \(\boldsymbol{M}\) são encontrados no campo total (\(\boldsymbol{E}\), \(\boldsymbol{H}\)) na fronteira como
\[\begin{align} &\boldsymbol{J}=\hat{\boldsymbol{n}}\times \boldsymbol{H}\qquad\textrm{on $\rm C$}, \tag{3} \\ &\boldsymbol{M}=\boldsymbol{E}\times\hat{\boldsymbol{n}}\qquad\textrm{on $\rm C$}, \tag{4} \end{align}\] |
onde \(\hat{\boldsymbol{n}}\) denota um vetor normal unitário na superfície limite \(\rm C\) para a área que contém o ponto de observação. Embora esta formulação seja matematicamente rigorosa e o campo derivado esteja correto, desde que as correntes equivalentes \(\boldsymbol{J}\) e \(\boldsymbol{M}\) são precisos, a distribuição correta da corrente geralmente é difícil de encontrar. Conseqüentemente, várias aproximações foram propostas para estimar tais correntes.
Como mostrado na Fig. 1, vamos agora considerar uma cunha dielétrica bidimensional do ângulo de cunha \(\phi_{\rm w}\) e a constante dielétrica relativa \(\varepsilon_{\rm r}\) é iluminado por uma onda plana incidente polarizada por TM:
\[\begin{align} \boldsymbol{H}^{\rm i} &= e^{j k x\cos\phi_0+j k y\sin\phi_0}\hat{\boldsymbol{z}}, \tag{5} \\ \boldsymbol{E}^{\rm i} &= \sqrt{\dfrac{\mu_0}{\varepsilon_0}}e^{j k x\cos\phi_0+j k y\sin\phi_0}(\sin\phi_0\hat{\boldsymbol{x}}\!-\!\cos\phi_0\hat{\boldsymbol{y}}), \tag{6} \end{align}\] |
onde \(k=\omega\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}\) denota o número de onda do espaço livre, e \(\phi_0\) é o ângulo de incidência.
Dependendo da direção do incidente, a onda incidente pode iluminar apenas a superfície OA (\(\phi_0<\phi_{\rm w}-\pi\)), apenas superfície OB (\(\phi_0>\pi\)), ou ambas as superfícies (\(\phi_{\rm w}-\pi<\phi_0<\pi\)) da cunha dielétrica. A derivação é ilustrada aqui apenas para iluminação de superfície OA, e o resultado correspondente para iluminação de superfície OB é dado no Apêndice A. Além disso, múltiplas reflexões GO também podem ocorrer dependendo do formato da cunha e da direção da onda incidente. Para encontrar um efeito de difração fracionária, o ângulo de cunha e o ângulo de incidência são um tanto restritos para evitar múltiplas reflexões GO nas superfícies de cunha. Se existirem, basta tratá-los como ondas incidentes adicionais para derivar os campos difratados de borda correspondentes.
Embora nossa formulação possa ser estendida para cunhas dielétricas com perdas, vamos explicar aqui para casos sem perdas, ou seja, \(\varepsilon_{\rm r}\) é muito positivo.
2.1 Campo Externo
As correntes equivalentes \(\boldsymbol{J}\) e \(\boldsymbol{M}\) pode ser aproximado a partir da onda plana incidente (\(\boldsymbol{E}^{\rm i}\), \(\boldsymbol{H}^{\rm i}\)) nas Eqs. (5) e (6) e GO refletiu onda plana como
\[\begin{align} \boldsymbol{H}^{\rm r}_{\rm A} &= \Gamma_Ae^{j k x\cos\phi_0-j k y\sin\phi_0}\hat{\boldsymbol{z}}, \tag{7} \\ \boldsymbol{E}^{\rm r}_{\rm A} &= -\Gamma_A\!\sqrt{\!\dfrac{\mu_0}{\varepsilon_0}}e^{j k x\cos\phi_0-j k y\sin\phi_0}(\sin\phi_0\hat{\boldsymbol{x}}\!+\!\cos\phi_0\hat{\boldsymbol{y}}), \tag{8} \end{align}\] |
fazendo o melhor dos nossos \(\Gamma_A\) é o coeficiente de reflexão da superfície OA e é dado por:
\[\begin{align} \Gamma_{\rm A} = \dfrac{\varepsilon_{\rm r}\sin\phi_0 - \sqrt{\varepsilon_{\rm r} - \cos^2\phi_0}}{\varepsilon_{\rm r}\sin\phi_0 + \sqrt{\varepsilon_{\rm r} - \cos^2\phi_0}}. \tag{9} \end{align}\] |
Então as correntes equivalentes \(\boldsymbol{J}^{\rm ex}_{\rm A}\), \(\boldsymbol{M}^{\rm ex}_{\rm A}\) na superfície OA pode ser aproximado como
\[\begin{align} & \boldsymbol{J}^{\rm ex}_{\rm A}=\hat{\boldsymbol{n}}\!\times\! \boldsymbol{H}|_{y=0+}\!\simeq\!\boldsymbol{J}^{\rm i}_{\rm A}\!+\!\boldsymbol{J}^{\rm r}_{\rm A}=\hat{\boldsymbol{n}}\times (\boldsymbol{H}^{\rm i}\!+\!\boldsymbol{H}^{\rm r}_{\rm A})|_{y=0+}, \tag{10} \\ & \boldsymbol{M}^{\rm ex}_{\rm A}=\boldsymbol{E}|_{y=0+}\!\times\!\hat{\boldsymbol{n}}\!\simeq\!\boldsymbol{M}^{\rm i}_{\rm A}\!+\!\boldsymbol{M}^{\rm r}_{\rm A}=(\boldsymbol{E}^{\rm i}\!+\!\boldsymbol{E}^{\rm r}_{\rm A})|_{y=0+}\times\hat{\boldsymbol{n}}. \tag{11} \end{align}\] |
Substituindo \(\boldsymbol{J}^{\rm i}_{\rm A}\) e \(\boldsymbol{M}^{\rm i}_{\rm A}\) na Eq. (2), um representante (\(z\)) componente do campo magnético \({H}^{\rm iA}_{\rm z}\) pode ser calculado como
\[\begin{align} &H^{\rm iA}_{\rm z}=\!\displaystyle\int_0^\infty\!e^{jkx'\cos\phi_0}\Bigg(\!-jk\sin\phi_0G+\!\frac{\partial G}{\partial y'}\Bigg)_{y'=0}dx', \tag{12} \\ &G=\dfrac{-j}{4\pi}\!\displaystyle\int_{-\infty}^\infty\frac{e^{-j\eta(x-x')-j\sqrt{k^2-\eta^2}|y-y'|}}{\sqrt{k^2-\eta^2}}d\eta. \tag{13} \end{align}\] |
Avaliando primeiro a integração em relação a \(x'\), obtém-se
\[\begin{align} H^{\rm iA}_{\rm z}=\ &\frac{j}{4\pi}\!\displaystyle\int_{-\infty}^\infty \!\Bigg(\!\frac{-k\sin\phi_0}{\sqrt{k^2-\eta^2}}\!\pm\!1\!\Bigg)\frac{e^{\!-j\eta x\!-\!j\sqrt{k^2-\eta^2}|y|}}{(k\cos\phi_0\!+\!\eta)}d\eta.\nonumber\\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad(y\gtrless0) \tag{14} \end{align}\] |
Se alguém usar transformação de variável \(\eta=k\sin w\), \(x=\rho\cos\phi\), \(y=\rho\sin\phi\), obtém-se
\[\begin{align} H^{\rm iA}_{\rm z} &= \dfrac{j}{4\pi}\!\displaystyle\int_{\overline{\rm C}}\!\dfrac{-\sin\phi_0\!\pm\!\cos w}{\cos\phi_0\!+\!\sin w}e^{-jk\rho\sin(w\pm\phi)}\!dw\nonumber\\ &= \dfrac{\pm j}{4\pi}\!\displaystyle\int_{\overline{\rm C}}\!\cot{\dfrac{\pi/2\!+\!w\!\pm\!\phi_0}{2}}e^{-jk\rho\sin(w\pm\phi)}dw,\quad(\phi\lessgtr\pi) \tag{15} \end{align}\] |
onde o contorno integral \({\overline{\rm C}}\) corre de (\(-\pi/2-j\infty\)) para (\(\pi/2+j\infty\)), conforme mostrado na Fig. 2. A integral acima pode ser avaliada pela técnica do ponto de sela para \(k\rho\gg1\). Considerando a localização do pólo \(w_{\rm p}(=\phi_0-\pi/2)\) e o ponto de sela \(w_{\rm s}(=|\phi-\pi|-\pi/2)\), pode-se derivar uma solução uniforme como [2]
\[\begin{align} &H^{\rm iA}_{\rm z}=H^{\rm iA}_{\rm d}-H^{\rm i}_{\rm z}U(\phi-\pi-\phi_0), \tag{16} \\ &H^{\rm iA}_{\rm d}=-C(k\rho)\bigg[\cot{\frac{\pi-(\phi-\phi_0)}{2}}+\!S^-(\phi\!-\!\phi_0)U(\pi\!-\!\phi)\bigg], \tag{17} \\ &C(\chi)=\frac{e^{-j(\chi+\pi/4)}}{\sqrt{8\pi\chi}}, \tag{18} \end{align}\] |
onde \(H^{\rm i}_{\rm z}\) representa o componente z da onda plana incidente GO na Eq. (5), e \(U(x)\) é uma função degrau unitário. Uma função de transição \(S^\pm(\alpha)\) pode ser dado por
\[\begin{align} S^\pm(\alpha)=&\dfrac{1}{\sqrt{\pi}C(k\rho)}e^{jk\rho\cos\alpha}\mathop{\mathrm{sgn}}(\pi\pm\alpha)\nonumber\\ &\cdot Q\left[(1+j)\left|\cos{\frac{\alpha}{2}}\right|\sqrt{k\rho}\right]-\dfrac{1}{\cos(\alpha/{2})}, \tag{19} \end{align}\] |
onde \(Q(y)=\int_y^\infty e^{-x^2}dx\) e \(\mathop{\mathrm{sgn}}(x)\) é uma função de sinal.
Da mesma forma, também se obtém o campo magnético \(H^{\rm rA}_{\rm z}\) da \(\boldsymbol{J}^{\rm r}_{\rm A}\) e \(\boldsymbol{M}^{\rm r}_{\rm A}\) devido à onda refletida GO como
\[\begin{align} &H^{\rm rA}_{\rm z}=H^{\rm rA}_{\rm d}+H^{\rm r}_{\rm Az}U(\pi-\phi_0-\phi), \tag{20} \\ &H^{\rm rA}_{\rm d}=-C(k\rho)\nonumber\\ &\qquad\quad\cdot\bigg[\Gamma_A\cot{\frac{\pi\!-\!(\phi\!+\!\phi_0)}{2}}+\Gamma_A\!S^-(\phi\!+\!\phi_0)U(\pi\!-\!\phi)\bigg], \tag{21} \end{align}\] |
onde \(H^{\rm r}_{\rm Az}\) representa o componente z da onda plana refletida GO na Eq. (7).
Combinando as contribuições das ondas incidentes e refletidas, o campo difratado exterior da cunha dielétrica devido à superfície OA pode ser dado por:
\[\begin{align} H^{\rm +}_{\rm A} &= H^{\rm iA}_{\rm d}+H^{\rm rA}_{\rm d}\nonumber\\ &= -C(k\rho)\Bigg[\cot\dfrac{\pi\!-\!(\phi\!-\!\phi_0)}{2}\!+\!S^-(\phi\!-\!\phi_0)U(\phi\!-\!\pi)\nonumber\\ &\hskip3mm\qquad\qquad\ \ \cdot U(\phi_{\rm w}-\pi-\phi_0)\nonumber\\ &\hskip3mm\qquad\qquad\ \ +\Gamma_{\rm A}\cot\dfrac{\pi-(\phi+\phi_0)}{2}\!+\Gamma_{\rm A}\!S^-(\phi\!+\!\phi_0)\nonumber\\ &\hskip3mm\qquad\qquad\ \ \cdot U(\pi\!-\!\phi)U(\pi-\phi_0)\Bigg]. \tag{22} \end{align}\] |
Na formulação acima, os comportamentos de singularidade das funções cotangentes correspondem aos limites de sombra dos raios GO da superfície OA. Quando a superfície OB é iluminada, a cotangente funciona na Eq. (22) são substituídas por outras correspondentes às ondas incidentes e refletidas da superfície OB (ver Apêndice A). A solução acima é essencialmente a mesma que a UAPO [32], mas tem uma forma diferente devido a um tratamento diferente próximo à região de transição.
Para a cunha perfeitamente condutora de eletricidade (PEC), o coeficiente de reflexão \(\Gamma_{\rm A}\) na Eq. (22) torna-se uma unidade, \(\boldsymbol{J}_{\rm A}=2\hat{\boldsymbol{n}}\times \boldsymbol{H}^{\rm i}\) e \(\boldsymbol{M}_{\rm A}=0\). Consequentemente, o campo difratado resultante \(H^{\rm +}_{\rm A}\) torna-se exatamente igual ao formulado pela formulação PO [16], na qual uma fórmula geral com quatro funções cotangentes pode então ser obtida para qualquer direção de incidência do problema da cunha PEC combinando a Eq. (22) e Eq. (A\(\cdot\) 1). Como mencionado acima, estas funções cotangentes têm uma correspondência biunívoca com os raios GO. Dependendo da direção da incidência, dois raios GO tornam-se raios não físicos, e duas funções cotangentes correspondentes se cancelam para exibir o comportamento correto do campo difratado, conforme relatado em [16]. Este cancelamento ocorre mesmo para a nossa expressão uniforme nas Eqs. (22) e (A\(\cdot\) 1). Por outro lado, quando o comportamento do limite de sombra GO é corrigido pela multiplicação da função de transição do tipo UTD em termos de integrais de Fresnel na formulação UAPO [32], o cancelamento exato não ocorre para produzir um pequeno resíduo no campo difratado .
2.2 Campo Interior
Dentro da cunha dielétrica, tem-se apenas a onda transmitida (\(\boldsymbol{H}^{\rm t}_{\rm A}\), \(\boldsymbol{E}^{\rm t}_{\rm A}\)), que pode ser dado por:
\[\begin{align} \boldsymbol{H}^{\rm t}_{\rm A} &= {\rm T}_{\rm A}e^{-j k_1 x\cos\phi^{\rm t}_{\rm A}-j k_1 y\sin\phi^{\rm t}_{\rm A}}\hat{\boldsymbol{z}}, \tag{23} \\ \boldsymbol{E}^{\rm t}_{\rm A} &= {\rm T}_{\rm A}\!\sqrt{\!\dfrac{\mu_0}{\varepsilon_{\rm r}\varepsilon_0}}e^{\!-\!j k_1 x\cos\phi^{\rm t}_{\rm A}\!-\!j k_1 y\sin\phi^{\rm t}_{\rm A}}(-\!\sin\phi^{\rm t}_{\rm A}\hat{\boldsymbol{x}}\!+\!\cos\phi^{\rm t}_{\rm A}\hat{\boldsymbol{y}}), \tag{24} \end{align}\] |
onde \(k_1=\omega\sqrt{\varepsilon_{\rm r}\varepsilon_0\mu_0}\), o ângulo transmitido \(\phi^{\rm t}_{\rm A}\) (\(\geqslant\pi\)) é definido como \(\phi^{\rm t}_{\rm A}=\pi+\arccos(\cos\phi_0/\sqrt{\varepsilon_{\rm r}})\) e \({\rm T}_{\rm A}=1+\Gamma_{\rm A}\) é o coeficiente de transmissão da superfície OA. Então as correntes magnética e elétrica correspondentes podem ser obtidas como:
\[\begin{align} & \boldsymbol{J}^{\rm in}_{\rm A}=\hat{\boldsymbol{n}}'\times \boldsymbol{H}^{\rm t}_{\rm A}|_{y=0-}=-{\rm T}_{\rm A}e^{-j k_1 x\cos\phi^{\rm t}_{\rm A}}\hat{\boldsymbol{x}}, \tag{25} \\ &\boldsymbol{M}^{\rm in}_{\rm A}=\boldsymbol{E}^{\rm t}_{\rm A}\times\hat{\boldsymbol{n}}'|_{y=0-}={\rm T}_{\rm A}\!\sqrt{\dfrac{\mu_0}{\varepsilon_{\rm r}\varepsilon_0}}e^{-j k_1 x\cos\phi^{\rm t}_{\rm A}}\sin\phi^{\rm t}_{\rm A}\hat{\boldsymbol{z}}. \tag{26} \end{align}\] |
Substituindo \(\boldsymbol{J}^{\rm in}_{\rm A}\) e \(\boldsymbol{M}^{\rm in}_{\rm A}\) na Eq. (2), o componente z do campo de dispersão interno devido à onda transmitida na superfície OA pode ser calculado de maneira semelhante na Eq. (15) como
\[\begin{align} H^{\rm tA}_{\rm z}=\!\dfrac{-\!j{\rm T}_{\rm A}}{4\pi}\!\displaystyle\int_{\overline{\rm C}}\!\cot{\dfrac{\!\phi^{\rm t}_{\rm A}\!-\!(w\!-\!\pi/2)\!}{2}}e^{-\!jk_1\rho\sin(w\!-\!\phi)}dw. \tag{27} \end{align}\] |
Usando a técnica do ponto de sela para avaliar a integral acima, \(H^{\rm tA}_{\rm z}\) pode então ser escrito como
\[\begin{align} &H^{\rm tA}_{\rm z}=H^{\rm -}_{\rm A}+H^{\rm t}_{\rm Az}U(\phi-\phi^{\rm t}_{\rm A}), \tag{28} \\ &H^{\rm -}_{\rm A}=\!-C(k_1\rho)\Bigg[{\rm T}_{\rm A}\cot\!\dfrac{\phi\!-\!\phi^{\rm t}_{\rm A}}{2}\!-\!{\rm T}_{\rm A}\!S^-(\pi\!-\!\phi^{\rm t}_{\rm A}\!+\!\phi)U(\phi\!-\!\phi_{\rm w})\nonumber\\ &\qquad\qquad\qquad\quad\cdot U(\pi-\phi_0)\Bigg], \tag{29} \end{align}\] |
onde \(H^{\rm t}_{\rm Az}\) representa o componente z da onda plana transmitida GO na Eq. (23). A singularidade da função cotangente na Eq. (29) tem uma correspondência biunívoca com o limite de sombra da onda transmitida na superfície OA. Assim como o campo exterior, pode-se ter outra contribuição \(H^{\rm -}_{\rm B}\) da onda transmitida na superfície OB, conforme representado pela Eq. (A\(\cdot\) 2) no Apêndice A, à medida que a superfície OB é iluminada.
3. Resultados Numéricos e Discussão
Para avaliar a precisão do nosso PO estendido (EPO)1 solução de aproximação, os resultados numéricos foram computados e comparados com aqueles obtidos na simulação HRD e FDTD. Por conveniência, o campo difratado pela solução HRD foi resumido no Apêndice B. Para evitar as múltiplas reflexões internas dos raios transmitidos, uma cunha de ângulo bastante plano é selecionada para o exemplo numérico. Embora os resultados do EPO sejam derivados das Eqs. (22), (29), (UMA\(\cdot\) 1) e (A\(\cdot\) 2), aqueles de HRD podem ser encontrados nas Eqs. (A\(\cdot\) 4) e (A\(\cdot\) 5) no Apêndice B. Por outro lado, o constituinte do campo difratado do FDTD é obtido numericamente subtraindo os raios GO do campo total nas seguintes comparações. O cálculo numérico do FDTD é bastante simples, mas o atual corpo em cunha 2D se estende infinitamente. Então é preciso selecionar um tempo transitório apropriado para evitar o efeito de difração espúrio dos limites de absorção. Para obter resultados confiáveis de simulação FDTD, os seguintes parâmetros são selecionados: a frequência é 6 GHz (\(\lambda=50 {\rm mm}\)); a região analítica cujo centro está localizado na borda, é \(700 {\rm mm}\times700 {\rm mm}\); o tamanho da célula Yee retangular é \(0.25 {\rm mm}\times0.25 {\rm mm}\); e o número de iterações é 50000.
A Figura 3 mostra os padrões dos campos totais e difratados de uma cunha PEC dados pela simulação EPO, HRD e FDTD para um caso de iluminação bilateral, no qual o EPO tem o mesmo resultado que a solução PO convencional. Neste caso, a onda incidente excita os campos refletidos de ambas as superfícies OA e OB. Como pode ser visto nas Figs. 3 (a) e 3 (b), a amplitude e a fase do campo total das três soluções combinam muito bem em todas as direções. Embora os resultados de HRD e FDTD sejam quase idênticos, algumas diferenças em relação ao resultado de EPO podem ser observadas perto da superfície da cunha. Essas diferenças se devem ao fato do campo difratado pela solução EPO não satisfazer as condições de contorno e borda [16], [21], [34]. Para mostrar a diferença mais claramente, a Figura 3 (c) está preparada para mostrar os campos difratados sem componentes GO. O campo difratado é pequeno comparado com os raios GO e se distribui principalmente nas proximidades dos limites geométricos da sombra. \({\rm SB}^{\rm r}\). Conforme mencionado no Apêndice B, a solução HRD é composta a partir da solução difratada heurística UTD da cunha dielétrica com perdas [27] para se estender para campos difratados dentro da cunha dielétrica. Conseqüentemente, a solução HRD coincide exatamente com a solução UTD convencional para a cunha PEC [24], e a solução também satisfaz as condições de contorno e de borda. Embora as partes não físicas da solução HRD contribuam para satisfazer a condição de contorno, o índice \(n\) refere-se à condição de borda [36]. Observa-se um comportamento correto do campo difratado por HRD: a derivada angular (\(E_{\rho}\)) do campo difratado (\(H_{\rm z}\)) torna-se zero no limite do PEC.
Quando a cunha PEC é substituída por uma cunha dielétrica de constante dielétrica \(\varepsilon_{\rm r}=6\), os resultados correspondentes são mostrados na Fig. 4. Neste caso, a onda incidente excita as ondas refletidas e transmitidas de ambas as superfícies OA e OB. Como pode ser visto nas Figs. 4 (a) e 4 (b), os padrões de campo totais de três soluções também apresentam uma boa concordância. Observa-se que o padrão de espalhamento externo é bastante semelhante ao caso PEC na Fig. 3, enquanto a onda incidente transmite principalmente para a região dielétrica para produzir um lóbulo de espalhamento principal na direção direta. A Figura 4 (c) mostra pequenas diferenças de campos difratados entre três resultados. Em contraste com o caso da cunha do PEC, pode-se observar que os resultados do EPO combinam bem com a simulação do FDTD, enquanto os do HRD mostram algumas diferenças. Até agora, não conseguimos explicar porque é que a solução EPO se torna melhor que a solução HRD. Esta mudança de precisão de EPO e HRD pode estar relacionada à condição de borda. Para a região interna, os campos difratados pelas soluções EPO e HRD na Fig. 4 (c) exibem quase os mesmos picos gêmeos nos limites da sombra de transmissão \({\rm SB}^{\rm t}\) e tem algumas diferenças em relação à simulação FDTD. Observa-se que, diferentemente da cunha PEC, ambas as soluções EPO e HRD não satisfazem a condição de contorno para o caso dielétrico. Isto exige que consideremos as contribuições que faltam na fronteira da cunha dielétrica.
Quando o ângulo de incidência \(\phi_0\) é selecionado como \(30^\circ\), apenas a superfície OA é iluminada e os resultados numéricos correspondentes do campo total são mostrados na Fig. 5. Observa-se que todos os três resultados combinam bem na região externa, enquanto existem algumas diferenças na região interna na Fig. ). Essas diferenças são maiores do que aquelas do caso de iluminação de dois lados na Fig. 5. Um cálculo adicional (denotado como FDTD4) com tamanho de célula de \(0.15 {\rm mm}\times0.15 {\rm mm}\) também foi realizado para confirmar a validade dos cálculos anteriores do FDTD. Pode-se observar que a precisão dos resultados do FDTD não muda mesmo se um tamanho de célula significativamente menor for selecionado. Uma mudança de fase significativa perto da superfície da cunha pode ser vista para o resultado do FDTD na Fig. Isto se deve ao fato de que valores numéricos de FDTD relativamente pequenos fornecem fase errônea, e o EPO analítico e o HRD fornecem mudança de fase correta nesta faixa. A diferença foi encontrada no campo difratado na Fig. 5 (a), no qual constituinte de campo adicional parece irradiar na região interior. A Figura 6 (b) mostra o campo restante subtraído nosso resultado EPO do resultado FDTD na Figura 6 (a). O resultado correspondente para \(\phi_0=40^{\circ}\) também está plotado na Fig. 6 (b). Observa-se que o campo restante se torna maior, mas tem a mesma forma quando o ângulo de incidência é selecionado como \(40^{\circ}\).
FIG. 5 Campo total por cunha dielétrica: \(\phi_{\rm w}=225^{\circ}\), \(\phi_0=30^{\circ}\), \(\varepsilon_{\rm r}=6\) e \(\rho=3\lambda\). (a) Amplitude do campo total. (b) Fase do campo total. |
Embora as contribuições GO satisfaçam a condição de contorno na superfície da cunha pelo coeficiente de reflexão/transmissão, o campo difratado de borda excitado na ponta da cunha não a satisfaz. Isto se deve ao fato de que o campo difratado na borda, como na Eq. (22) e Eq. (29) se propaga nas regiões de cunha externa e interna, mas com números de onda diferentes. Esta diferença deveria ser compensada pelas ondas laterais excitadas no meio mais denso. A Figura 7 mostra um esboço da onda lateral inspirada no campo de radiação por uma fonte de linha localizada na interface entre dois meios [2]. A excitação destas ondas laterais deve ser dependente do campo superficial difratado na borda. Nota-se na Fig. 6 (a) que o campo de superfície difratada na borda em \(\phi=225^{\circ}\) é mais forte do que aquele em \(\phi=0^{\circ}\). Consequentemente, a onda lateral é mais forte nas proximidades da superfície OB. Até agora, ainda não descobrimos como aumentar esta onda lateral em nossa solução EPO.
4. Conclusão
Neste artigo, o método de aproximação EPO foi utilizado para estudar a difração de borda por uma cunha dielétrica para uma incidência de onda plana polarizada por TM. Aqui, o campo de espalhamento pode ser formulado integrando as correntes elétricas e magnéticas excitadas na interface dielétrica iluminada com a função de Green bidimensional. Usando a técnica do ponto de sela para avaliar as integrações, as soluções assintóticas uniformes foram derivadas.
Comparações dos resultados numéricos foram feitas com outros métodos de referência. Boas comparações foram observadas para confirmar a confiabilidade do nosso EPO para o campo externo da cunha dielétrica. Para o campo interno, descobriu-se que os resultados do EPO e do HRD apresentam quase os mesmos resultados. Consequentemente, os termos adicionais não físicos introduzidos pelo HRD têm pouco efeito no campo total, e o EPO, que requer significativamente menos recursos computacionais que o HRD ou o FDTD, pode ser suficiente para avaliar o campo difratado na borda para o cálculo da cunha dielétrica. A diferença do resultado do FDTD sugere um efeito de difração adicional, a onda lateral é necessária para preencher os resultados por EPO e HRD. A mudança observada na precisão das soluções EPO e HRD para PEC e cunhas dielétricas pode exigir uma consideração cuidadosa da condição da borda. Esses aspectos estão agora sob investigação e serão relatados no futuro.
Agradecimentos
Uma parte deste trabalho foi apoiada por uma Bolsa de Pesquisa Científica In Aide (23K03860, 2023) da Sociedade Japonesa para a Promoção da Ciência, Japão, e uma Bolsa de Pesquisa Pessoal da Universidade Chuo 2023. Os autores agradecem aos Profs. T. Uno e T. Arima pelos seus conselhos úteis sobre os cálculos do FDTD.
Referências
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[2] L.B. Felsen and N. Marcuvitz, Radiation and Scattering of Waves, Prentice-Hall, NJ, USA, 1973. (reissued from Wiley-IEEE Press, USA, 1994.)
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Apêndice A: Campo de Difração da Superfície OB
Quando a onda incidente ilumina a superfície OB, correntes equivalentes \(\boldsymbol{J}_{\rm B}\) e \(\boldsymbol{M}_{\rm B}\) são excitados, e os campos difratados são derivados de maneira semelhante na Seção. 2. O campo difratado externo devido a \(\boldsymbol{J}_{\rm B}\) e \(\boldsymbol{M}_{\rm B}\) pode ser dado por
\[\begin{align} {H}^{\rm +}_{\rm B}=&-C(k\rho)\nonumber\\ &\cdot\!\Bigg[\!\cot\!\dfrac{\pi\!+\!(\phi\!-\!\phi_0)}{2}\!+\!S^+\!(\phi\!-\!\phi_0)U(\phi_{\rm w}\!-\!\pi\!-\!\phi)U(\phi_0\!-\!\pi)\nonumber\\ &\quad+\Gamma_{\rm B}\cot\dfrac{\pi\!+\!(\phi\!+\!\phi_0\!-\!2\phi_{\rm w})}{2}\!+\!\Gamma_{\rm B}S^+(\phi_0\!+\!\phi\!-\!2\phi_{\rm w})\nonumber\\ &\quad\cdot U(\phi\!+\!\pi\!-\!\phi_{\rm w})U(\phi_0+\pi-\phi_{\rm w})\Bigg], \tag{A$\cdot $1} \end{align}\] |
e o campo difratado interno é dado por
\[\begin{align} {H}^{\rm -}_{\rm B}=&-C(k_1\rho)\Bigg[\!-{\rm T}_{\rm B}\cot\dfrac{\phi-\phi^{\rm t}_{\rm B}}{2}\!-{\rm T}_{\rm B}S^-(\pi\!+\!\phi^{\rm t}_{\rm B}\!-\!\phi)\nonumber\\ &\qquad\qquad\quad\cdot U(\phi\!-\!\phi_{\rm w})U(\phi_0+\pi-\phi_{\rm w})\Bigg], \tag{A$\cdot $2} \end{align}\] |
onde o ângulo transmitido \(\phi^{\rm t}_{\rm B}\) é definido como \(\phi^{\rm t}_{\rm B}=\phi_{\rm w}+\arccos\big[\cos(\pi+\phi_0-\phi_{\rm w})/\sqrt{\varepsilon_{\rm r}}\big]\) e \(\Gamma_{\rm B}\) é o coeficiente de reflexão da superfície OB e é dado por
\[\begin{align} &\Gamma_{\rm B} = \dfrac{\varepsilon_{\rm r}\sin(\pi+\phi_0-\phi_{\rm w}) - \sqrt{\varepsilon_{\rm r} - \cos^2(\pi+\phi_0-\phi_{\rm w})}}{\varepsilon_{\rm r}\sin(\pi+\phi_0-\phi_{\rm w}) + \sqrt{\varepsilon_{\rm r} - \cos^2(\pi+\phi_0-\phi_{\rm w})}}, \tag{A$\cdot $3} \end{align}\] |
e \({\rm T}_{\rm B}=1+\Gamma_{\rm B}\).
Apêndice B: Solução de Raios Ocultos de Difração (HRD)
Sabe-se que a solução PO não satisfaz as condições de contorno e de borda. Um conceito de raios ocultos no domínio não físico foi então introduzido para corrigir o erro de PO [34], [35]. A solução HRD é estendida da solução HUTD e satisfaz as condições de contorno e de borda para o caso da cunha PEC. Os campos difratados externos e internos por uma cunha dielétrica bidimensional podem ser dados pela solução HRD, respectivamente como [34]
\[\begin{align} \bar{H}^{\rm +}=&-C(k\rho)\nonumber\\ &\cdot\Bigg[\frac{1}{n}\cot\!\dfrac{\pi\!-\!(\phi\!-\!\phi_0)}{2n}\!+\!S^-(\phi\!-\!\phi_0)U(\phi\!-\!\pi)\nonumber\\ &\quad+\frac{1}{n}\cot\dfrac{\pi\!+\!(\phi\!-\!\phi_0)}{2n}\!+\!S^+(\phi\!-\!\phi_0)U(\phi_{\rm w}\!-\!\pi\!-\!\phi)\nonumber\\ &\quad+\frac{\bar{\Gamma}_{\rm A}}{n}\cot\dfrac{\pi-(\phi+\phi_0)}{2n}\!+\bar{\Gamma}_{\rm A}\!S^-(\phi\!+\!\phi_0)U(\pi\!-\!\phi)\nonumber\\ &\quad+\frac{\bar{\Gamma}_{\rm B}}{n}\cot\!\dfrac{\pi\!+\!(\phi\!+\!\phi_0\!-\!2\phi_{\rm w})}{2n}\!+\!\bar{\Gamma}_{\rm B}S^+(\phi_0\!+\!\phi\!-\!2\phi_{\rm w})\nonumber\\ &\quad\quad\cdot U(\phi\!+\!\pi\!-\!\phi_{\rm w})\Bigg], \tag{A$\cdot $4} \\ \bar{H}^{\rm -}=&-C(k_1\rho)\nonumber\\ &\cdot\Bigg[\frac{\bar{\rm T}_{\rm A}}{n}\cot\dfrac{\phi-\phi^{\rm t}_{\rm A}}{2n}\!-\bar{\rm T}_{\rm A}\!S^-(\pi-\phi^{\rm t}_{\rm A}+\phi)U(\phi-\phi_{\rm w})\nonumber\\ &\quad\!-\!\frac{\bar{\rm T}_{\rm B}}{n}\cot\dfrac{\phi-\phi^{\rm t}_{\rm B}}{2n}\!-\bar{\rm T}_{\rm B} S^-(\pi+\phi^{\rm t}_{\rm B}-\phi)U(\phi-\phi_{\rm w})\Bigg], \tag{A$\cdot $5} \end{align}\] |
onde \(\bar{\Gamma}_{\rm A}\) e \(\bar{\Gamma}_{\rm B}\) são os coeficientes de reflexão das superfícies OA e OB, e dados por
\[\begin{align} &\bar{\Gamma}_{\rm A} = \dfrac{\varepsilon_{\rm r}|\sin\phi_0| - \sqrt{\varepsilon_{\rm r} - \cos^2\phi_0}}{\varepsilon_{\rm r}|\sin\phi_0| + \sqrt{\varepsilon_{\rm r} - \cos^2\phi_0}} \tag{A$\cdot $6} \\ &\bar{\Gamma}_{\rm B} = \dfrac{\varepsilon_{\rm r}|\sin(\pi+\phi_0-\phi_{\rm w})| \!-\! \sqrt{\varepsilon_{\rm r} - \cos^2(\pi+\phi_0-\phi_{\rm w})}}{\varepsilon_{\rm r}|\sin(\pi+\phi_0-\phi_{\rm w})| \!+\! \sqrt{\varepsilon_{\rm r} - \cos^2(\pi+\phi_0-\phi_{\rm w})}}. \tag{A$\cdot $7} \end{align}\] |
\(\bar{\rm T}_{\rm A}=1+\bar{\Gamma}_{\rm A}\) e \(\bar{\rm T}_{\rm B}=1+\bar{\Gamma}_{\rm B}\) são coeficientes de transmissão correspondentes das superfícies OA e OB, respectivamente. O parâmetro de índice \(n\) é obtido pelo valor positivo mínimo que satisfaz a condição de borda como [34]
\[\begin{align} \tan{\frac{2\pi-\phi_{\rm w}}{n}}=\varepsilon_{\rm r}\tan{\frac{-\phi_{\rm w}}{n}}. \tag{A$\cdot $8} \end{align}\] |
As formulações HRD nas Eqs. (A\(\cdot\) 4) e (A\(\cdot\) 5) pode ser aplicado a qualquer direção da onda incidente, embora possam ser necessárias múltiplas contribuições adicionais de campo difratado devido a ângulos de incidência e de cunha específicos.